Mô hình vĩ độ

Nếu như địa hình đang ở mực nước biển, ta có thể ước tính được g { ϕ } {\displaystyle g\{\phi \}} , gia tốc ở vĩ độ ϕ {\displaystyle \phi } :

g { ϕ } = 9.780327 m ⋅ s − 2 ( 1 + 0.0053024 sin 2 ⁡ ϕ − 0.0000058 sin 2 ⁡ 2 ϕ ) , = 9.780327 m ⋅ s − 2 ( 1 + 0.0052792 sin 2 ⁡ ϕ + 0.0000232 sin 4 ⁡ ϕ ) , = 9.780327 m ⋅ s − 2 ( 1.0053024 − 0.0053256 cos 2 ⁡ ϕ + 0.0000232 cos 4 ⁡ ϕ ) , = 9.780327 m ⋅ s − 2 ( 1.0026454 − 0.0026512 cos ⁡ 2 ϕ + 0.0000058 cos 2 ⁡ 2 ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}} .

Đây là công thức trọng lực quốc tế 1967, Công thức hệ thống tham chiếu trắc địa năm 1967, phương trình của Helmert hoặc công thức của Clairaut.

Một công thức thay thế cho g với dạng một hàm vĩ độ là WGS (hệ thống trắc địa thế giới) 84 công thức trọng lực Ellipsoidal.

g { ϕ } = G e [ 1 + k sin 2 ⁡ ϕ 1 − e 2 sin 2 ⁡ ϕ ] , {\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],\,\!}

Trong đó:

• a , b {\displaystyle a,\,b} lần lượt là các bán trục xích đạo và cực tương ứng
• e 2 = 1 − ( b / a ) 2 {\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}} là độ lệch tâm của hình cầu, bình phương
• G e , G p {\displaystyle \mathbb {G} _{e},\,\mathbb {G} _{p}\,} là trọng lực xác định tại xích đạo và cực tương ứng
• k = b G p − a G e a G e {\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{p}-a\,\mathbb {G} _{e}}{a\,\mathbb {G} _{e}}}} (hằng số công thức)

Trong đó G p = 9.8321849378 m ⋅ s − 2 {\displaystyle \mathbb {G} _{p}=9.8321849378\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}} ,[1]

g { ϕ } = 9.7803253359 m ⋅ s − 2 [ 1 + 0.00193185265241 sin 2 ⁡ ϕ 1 − 0.00669437999013 sin 2 ⁡ ϕ ] {\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.00193185265241\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.00669437999013\,\sin ^{2}\phi }}}\right]} .

Sự khác biệt giữa công thức WGS-84 và phương trình của Helmert nhỏ hơn 0.68μm•s−2

Độ chính xác không khí tự do

Điều chỉnh đầu tiên được áp dụng cho mô hình là độ chính xác không khí tự do (FAC) chiếm độ cao trên mực nước biển. Gần bề mặt Trái Đất (mực nước biển), trọng lực giảm dần theo độ cao sao cho phép ngoại suy tuyến tính sẽ cho trọng lực bằng không ở độ cao bằng một nửa bán kính Trái Đất – (9,8 m/s −2 trên mỗi 3.200 km). Tốc độ giảm được tính bằng cách phân biệt g(r) đối với r và khai triển bằng r=rTrái Đất.

Với việc sử dụng khối lượng và bán kính của Trái Đất:

r E a r t h = 6.371 ⋅ 10 6 m {\displaystyle r_{\mathrm {Earth} }=6.371\cdot 10^{6}\,\mathrm {m} } m E a r t h = 5.9722 ⋅ 10 24 k g {\displaystyle m_{\mathrm {Earth} }=5.9722\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg} }

Hệ số hiệu chỉnh FAC (Δg) có thể được lấy từ định nghĩa gia tốc do trọng lực tính theo G, hằng số hấp dẫn (xem ước tính g từ định luật vạn vật hấp dẫn, bên dưới):

g 0 = G M e / R e 2 = 9.8196 m s 2 {\displaystyle g_{0}=G\,M_{\mathrm {e} }/R_{\mathrm {e} }^{2}=9.8196\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}

Trong đó:

G = 6.67384 ⋅ 10 − 11 m 3 k g ⋅ s 2 . {\displaystyle G=6.67384\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}.}

Ở độ cao h được tính từ bề mặt Trái Đất, gh được cho bởi:

g h = G M e / ( R e + h ) 2 {\displaystyle g_{h}=G\,M_{\mathrm {e} }/\left(R_{\mathrm {e} }+h\right)^{2}}

Vì vậy, FAC với mỗi độ cao h được tính từ bán kính Trái Đất có thể được biểu thị:

Δ g h = [ G M e / ( R e + h ) 2 ] − [ G M e / R e 2 ] {\displaystyle \Delta g_{h}=\left[G\,M_{\mathrm {e} }/\left(R_{\mathrm {e} }+h\right)^{2}\right]-\left[G\,M_{\mathrm {e} }/R_{\mathrm {e} }^{2}\right]}

Biểu thức này có thể dễ dàng được sử dụng để lập trình hoặc đưa vào bảng tính. Thu thập các thuật ngữ, đơn giản hoá và bỏ qua các thuật ngữ nhỏ (h<<rTrái Đất), tuy nhiên điều đó mang lại sự gần đúng.

Δ g h ≈ − G M e R e 2 ⋅ 2 h R e {\displaystyle \Delta g_{h}\approx -\,{\dfrac {G\,M_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }^{2}}}\cdot {\dfrac {2\,h}{R_{\mathrm {e} }}}}

Sử dụng các giá trị số ở trên với một chiều cao h nhất định tính bằng mét:

Δ g h ≈ − 3.086 ⋅ 10 − 6 h {\displaystyle \Delta g_{h}\approx -3.086\cdot 10^{-6}\,h}

Tổng hợp các yếu tố vĩ độ và FAC, biểu thức thường thấy nhất trong tài liệu là:

g { ϕ , h } = g { ϕ } − 3.086 ⋅ 10 − 6 h {\displaystyle g\{\phi ,h\}=g\{\phi \}-3.086\cdot 10^{-6}h}

Trong đó: g { ϕ , h } {\displaystyle g\{\phi ,h\}} là gia tốc với đơn vị là m•s−2 tại vĩ độ   ϕ {\displaystyle \ \phi } và độ cao h (mét)

Các mảng kiến tạo

Đối với địa hình bằng phẳng trên mực nước biển, một thuật ngữ thứ hai được thêm vào cho trọng lực do khối lượng tăng thêm; với mục đích này, khối lượng tăng thêm có thể được xấp xỉ bằng một mảng ngang vô hạn và chúng ta nhận được gấp 2πG lần khối lượng trên một đơn vị diện tích, tức là 4,2×10−10 m3•s−2•kg−1 (0,042 μGal•kg−1•m2) (hiệu chỉnh của Bouguer). Đối với mật độ đá trung bình là 2,67 g•cm−3 thì ta có 1,1×10−6 s−2 (0.11 mGal•m−1). Kết hợp với độ chính xác không khí tự do, điều này có nghĩa là giảm trọng lực ở bề mặt của Trái Đất. 2 µm•s−2 (0,20 mGal) cho mỗi mét độ cao của địa hình. (Hai hiệu ứng này sẽ bị huỷ ở mật độ đá bề mặt bằng 4/3 lần mật độ trung bình của toàn Trái Đất. Mật độ của toàn Trái Đất là 5,515 g•cm−3, do đó, đứng trên một mảng của một thứ gì đó giống như sắt có mật độ trên 7,35 g•cm−3 sẽ tăng trọng lượng của người đó.)

Đối với trọng lực bên dưới bề mặt Trái Đất, chúng ta phải áp dụng độ chính xác không khí tự do cũng như hiệu chỉnh của Bouguer kép. Với mô hình mảng vô tận, điều này là do việc di chuyển điểm quan sát bên dưới mảng đó làm thay đổi trọng lực do nó và điểm đối diện với nó. Ngoài ra, chúng ta có thể xem xét một Trái Đất đối xứng hình cầu và trừ đi khối lượng của vỏ Trái Đất từ điểm quan sát từ khối lượng của Trái Đất, bởi vì điều đó không gây ra sự thay đổi về trọng lực bên trong. Điều này cho kết quả tương tự.